분할과 정복과 동적 계획법에 대한 설명

분할과 정복이란?

분할과 정복은 컴퓨터 과학과 수학에서 복잡한 문제를 더 작고 관리하기 쉬운 하위 문제로 분해하고 각각의 하위 문제를 독립적으로 해결한 다음 해결책을 결합하여 원래의 문제를 해결하는 문제 해결 기법이다.

 

분할 및 정복 기술은 일반적으로 세 가지 주요 단계를 포함한다.

 

나눗셈은 문제는 더 쉽게 풀 수 있는 더 작은 하위 문제로 나뉜다.

이것은 문제의 성격에 따라 다양한 방법으로 수행된다.

예를 들어, 정렬 알고리즘은 숫자 배열을 두 개의 작은 배열로 나누거나, 그래프 알고리즘은 큰 그래프를 더 작은 하위 그래프로 나뉜다.

 

정복은 각 하위 문제는 동일한 기술을 사용하여 독립적으로 해결된다.

이 단계는 직접 해결할 수 있는 기본 사례에 도달할 때까지 하위 문제가 훨씬 더 작은 하위 문제로 분할되는 재귀를 포함한다.

 

결합은 하위 문제에 대한 솔루션이 결합되어 원래 문제에 대한 솔루션을 형성한다.

이 단계에서는 정렬된 배열을 병합하거나 하위 그래프의 결과를 결합하여 전체 그래프에 대한 솔루션을 얻는다.

 

분할 및 정복 기술의 일반적인 예는 다음과 같다.

 

병합 정렬은 배열을 두 개의 작은 하위 배열로 나누고, 동일한 알고리즘을 사용하여 각 하위 배열을 독립적으로 정렬한 다음, 정렬된 하위 배열을 병합하여 정렬된 배열을 얻는 정렬 알고리즘이다.

이진 검색은 정렬된 배열을 두 개의 더 작은 하위 배열로 나누는 검색 알고리즘으로, 대상 요소가 발견될 때까지 동일한 알고리즘을 사용하여 적절한 하위 배열을 재귀적으로 검색한다.

빠른 정렬은 배열에서 피벗 요소를 선택하고, 피벗 요소를 기준으로 배열을 두 개의 작은 하위 배열로 나누고, 각 하위 배열을 재귀적으로 정렬한 다음, 결과를 결합하여 정렬된 배열을 얻는 정렬 알고리즘이다.

전체적으로는 분할 및 정복 기술은 컴퓨터 과학과 수학에서 널리 사용되는 강력한 문제 해결 접근법이다.

복잡한 문제를 더 작고 관리하기 쉬운 하위 문제로 세분화하고 각 하위 문제를 독립적으로 해결함으로써, 이 기술은 광범위한 문제에 대한 효율적이고 확장 가능한 솔루션을 가능하게 한다.

 

동적 계획법이란?

동적 프로그래밍은 컴퓨터 과학과 수학에서 복잡한 문제를 더 작고 간단한 하위 문제로 분해하여 해결하는 최적화 기술이다.

동적 프로그래밍 뒤에 있는 아이디어는 하위 문제에 대한 솔루션을 메모리에 저장하여 나중에 재사용할 수 있도록 하여 중복 계산을 피하고 전반적인 효율성을 향상시킨다.

 

동적 프로그래밍을 설명하기 위해 피보나치 시퀀스에서 n번째 숫자를 찾는 문제를 고려해보자.

여기서 각 숫자는 시퀀스의 이전 두 숫자(즉, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)의 합이다.

 

이 문제를 해결하기 위한 순진한 접근법은 n번째 숫자를 시퀀스의 n번째 숫자와 n번째 숫자의 합으로 재귀적으로 계산하는 것이다.

그러나 이 접근법은 n이 커짐에 따라 빠르게 비효율적이 되는데, 이는 동일한 하위 문제의 많은 부분이 여러 번 재계산되기 때문이다.

 

동적 프로그래밍은 하위 문제의 결과를 메모리에 저장하고 필요에 따라 재사용함으로써 보다 효율적인 솔루션을 제공한다.

구체적으로, 우리는 메모화라고 불리는 기술을 사용하여 각 하위 문제의 결과를 배열이나 사전에 저장할 수 있다.

그런 다음 하위 문제를 계산해야 할 때 먼저 문제를 해결했는지 확인하고 해결책이 있으면 메모리에서 검색할 수 있다.

그렇지 않으면 솔루션을 계산하여 나중에 사용할 수 있도록 저장한다.

 

동적 프로그래밍을 사용하면 순진한 재귀적 접근법의 기하급수적인 시간 복잡성과 비교하여 O(n) 시간 복잡성에서 피보나치 시퀀스 문제를 해결한다.

각 하위 문제를 한 번만 계산한 다음 저장된 솔루션을 다시 사용하면 되기 때문이다.

 

동적 프로그래밍을 사용하여 해결할 수 있는 다른 문제의 예로는 배낭 문제, 최장 공통 후속 문제, 최단 경로 문제 등이 있다.

일반적으로 동적 프로그래밍은 중복되는 하위 문제를 포함하는 최적화 문제를 해결하기 위한 강력한 도구이다.